Stabilité en niveau 0, pour les groupes orthogonaux impairs p-adiques

Précisons tout de suite que dans ce qui suit, F est un corps extension finie de Qp avec p 6= 2 et même pour le théorème principal p grand. Le but de ce travail est de produire des fonctions sur les groupes p-adiques orthogonaux impairs dont les intégrales orbitales sur les éléments elliptiques réguliers ne dépendent que des classes de conjugaison stable. Au passage, on produit aussi des fonctions dont la somme des intégrales orbitales à l’intérieur d’une classe stable fixée est nulle. A la fin du papier, on interprète ce résultat en terme de stabilité des représentations elliptiques de niveau 0 pour ces groupes orthogonaux. Si l’on a bien prédit les signes qui dépendent encore de [3], c’est la somme des représentations dans un paquet qui est stable et ces combinaisons linéaires engendrent l’espace distributions stables combinaison linéaires de représentations elliptiques. Dans le détail, on commence par rappeler ce qu’est une représentation de niveau zéro et comment on peut lui associer un pseudo-coefficient; ce n’est pas nouveau et n’est pas au cœur du papier. C’est quand on passe à la description des paramètres de ces représentations que l’on entre dans le vif du sujet. On décrit ces paramètres en terme d’ensemble d’orbites unipotentes de groupes complexes convenables et de systèmes locaux sur ces orbites; la façon classique de faire cela est de considérer le morphisme de Langlands-Lusztig, ψ, de WF ×SL(2,C) dans Sp(2n,C) (le groupe dual) et de décomposer d’abord la restriction de ψ à WF . Ici on décompose la restriction de ψ au sous-groupe de WF noyau de l’application WF →< Fr > (où Fr est un Frobénius) et c’est dans le commutant de l’image par ψ de ce sous-groupe que vivent les orbites unipotentes et systèmes locaux ci-dessus. Pour faire cette classification, on utilise le fait que ψ est de niveau 0 (cf la définition donnée dans le texte) mais ceci n’est pas une hypothèse importante à cet endroit. On peut alors utiliser les méthodes de Lusztig et la représentation de Springer généralisée pour associer aux systèmes locaux trouvés, des fonctions sur des groupes finis, qui sont en fait des parahoriques en réduction du groupe orthogonal de départ; c’est là que l’hypothèse de niveau 0 intervient. Ce sont les faisceaux caractères de Lusztig. On remonte ces fonctions sur le groupe parahorique en les rendant invariantes par le radical pro-p-unipotent et on les prolonge par zéro pour en faire des fonctions sur le groupe orthogonal. Ce sont ces fonctions pour lesquelles on peut calculer le comportement des intégrales sur les classes de conjugaison d’éléments elliptiques à l’intérieur d’une classe de conjugaison stable. Avec cette méthode, ce ne sont pas des combinaisons linéraires de paramètres de Langlands qui donnent des objets stables mais directement certains paramètres; c’était déjà le cas en [8] et ici c’est expliqué en 5.1. On revient à des combinaisons linéraires plus habituelles en faisant une opération style transformation de Fourier, cf. 6.1. Pour finir, on veut interpréter ces fonctions comme un ensemble de pseudo coefficients pour les représentations elliptiques (elliptiques au sens d’Arthur) de niveau zéro (cf. 6.2); vu ce qui est rappelé au début de ce papier, pour le faire on doit calculer ce que l’on appelle la restriction aux parahoriques des représentations, c’est-àdire calculer l’action de chaque parahorique dans la sous-représentation formée par les vecteurs invariants sous l’action du radical pro-p-unipotent du dit parahorique. Pour cela, on a besoin de 2 résultats. Le premier est un résultat annoncé par Aubert, Kutzko et Morris ([3]) qui ramène l’étude de l’algèbre de Hecke des représentations induites de cuspidales de niveau 0 pour un groupe réductif à des algèbres de Hecke de représentations induites à partir de cuspidales de réduction unipotente pour des groupes réductifs convenables; ici ce résultat fera intervenir d’autres groupes orthogonaux et des groupes unitaires et il y aura sans doute un signe. Il faut ensuite savoir calculer la restriction aux parahoriques des représentations de réduction unipotente pour ces groupes orthogonaux et unitaires. Pour les groupes orthogonaux, c’est essentiellement fait en [12] (nous l’avons déjà utilisé dans [8]) et pour les groupes unitaires c’est fait dans [7]. Moyennant le travail en cours [3] on a donc une bonne description de pseudo coefficient pour les représentations elliptiques de niveau 0 des groupes orthogonaux considérés ici. Et en utilisant les résultats d’Arthur ([1]) qui ramènent les problèmes de stabilité pour des représentations elliptiques à la stabilité des intégrales orbitales en les éléments elliptiques de leurs